シンプレクティック 商

前節の「制限」の操作を シンプレクティック 多様体のほうでながめたのが、 シンプレクティック 商 である。

Lie 群 $G$ が シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$ に作用し、$G$ の 作用は $\omega$ を不変にしているとする。 作用は次の様なリー環準同型を誘導する。

$${\mathfrak{g}}\to \mathcal X(M)$$

この作用の「モーメント写像」とは、この準同型の次のようなリフトのことである。

$$\mu:{\mathfrak{g}}\to C^\infty(M)$$

($\mu$ には「積分定数」の分だけ任意性があり、それをどう決めるかは場合による。 また、$G$ が不連結の場合には、$\mu$ に適当な $G$-共変性を要求する 必要がある。)

$M$ の $\mu$ による「制限」がシンプレクティック 商 と 呼ばれるものである。

$$N(J)\supset A\cdot \mu({\mathfrak{g}})+\epsilon A+\{a_1\in C^{\infty}(M)\vert{\mathfrak{g}}.a_1=0\}$$

$$M//G=\mu^{-1}(0)/G$$