$\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ の非可換実変型:環 $A_R$

いよいよ $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ の実変形について考えてみよう。

$$A={\Bbb C}[z_0,z_1\dots,z_n,\overline{z_0},\overline{z_1},\dots,\overline{z_n}]$$

とする。ただし、こんどは は必ずしも可換ではなくて、

を満たすものとする。ここに、 , はクロネッカの デルタである。 表題のものをえるには、この $A$ を、

$$\mu=\sum_i z_i \overline{z_i}-R$$

で制限すれば良い。(前節で求まった $\mu$ と少し変えてある。$\mu$ を 2倍したのは 全く便宜上の問題であり、 積分定数 $R$ を付け加えたのは $R=0$ が singular な場所だからである。) すなわち、$A$ を次のようなイデアルで「制限」することになる。

$$J=A\mu$$

$N(J)$ の具体的な形をもとめよう。 $A$ には $\deg(z_1)=1,\deg(z_j)=-1$ として次数づけが入る。 この次数づけに関して斉次な元 $f$ に対して、

$$[\mu,f]=\deg(f)f$$

この関係式を用いると、直ちに、

$$N(J)=A_0+J$$   $A_0$ は $A$ の次数 $0$ の元全体のなす代数$$$$

がわかる。 すなわち、

$$N(J)/J=A_0/(A_0\cap J)= {\Bbb C}[\{z_i\overline{z_j}\}_{i,j}]/(\sum_j z_j \overline{z_j}-R)$$

この環を $A_R$ と書くことにする。 次の節でこの環の $*$-表現について詳しく調べることにしよう。