代数学 A NO.12 要約

12. 群の直積編

今日のテーマ《巡回群の直積分解》群の準同型定理の一つの応用として、巡回群の直積分解について述べる。

定義 12.1 (群の直積).(G_{1}, m_{1}) と、 (G_{2}, m_{2}) とが共に群であるとする。このとき、デカルト積集合

G_{1} × G_{2} = {(g_{1}, g_{2}); g_{1} ∈ G_{1}, g_{2} ∈ G_{2}}

は、次のような演算 m により群になる。

m((a_{1}, a_{2}), (b_{1}, b_{2})) = (m_{1}(a_{1}, b_{1}), m_{2}(a_{2}, b_{2}))

(G_{1} × G_{2}, m) を G_{1} と G_{2} の (群としての) 直積と呼ぶ。

定理 (有限巡回群の直積分解).m, n を互いに素な正の整数とする。このとき、同型

ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ

が存在する。

系. m, n を互いに素な正の整数とすると、

am + bn = 1

となる整数 a, b が存在する。

この系自身もよく利用される。応用例として一つだけ挙げておく。

系 (系の系). m, n を互いに素な正の整数とする。このとき、 ℤ/mℤ の、 n̄ で生成される部分群は、 ℤ/mℤ 自身である。

※レポート問題つぎのうち一問を選択して解きなさい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 適当な準同型

ℤ → (ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ) × ℤ/7ℤ

を考えることにより、

(ℤ/3ℤ × ℤ/5ℤ) × ℤ/7ℤ

が位数 105 の巡回群と同型であることを示しなさい。 (II) 群 G が与えられているとします。 G の\underline{正規}部分群 H, K が次の二つの性質を

満たすとき、 G は H × K と同型であることを示しなさい。

(a) H ∩ K = {e}.

(b) G は H ∪ K で生成される。さらに、このとき G/H ≅ K であることも示しなさい。 (III) 互いに素な整数 m, n が与えられているとします。さらに、 a, b を

am + bn = 1

を満たす整数とします。このとき、同型

f : ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ × ℤ/nℤ (f(x̄) = (x̄, x̄))

の逆写像を、 a, b を用いてあらわしなさい。 (f^{−1}(s̄, t̄) を a, b, s, t, m, n の式であらわしなさい。

付録 : 今日の「系」のもう一つの証明法。

定理. m, n を互いに素な正の整数とする。このとき、 ℤ の、 {m, n} で生成される部分群は、 ℤ 自身になる。とくに、 am + bn = 1 となる整数 a, b が存在する。