代数学 A NO.6 要約

6. 同値関係編

今日のテーマ《同値関係》

• \underline{《同値関係》と《クラス分け》とは一つの現象を裏と表とから眺めたものである。}

• 群の定義と同値関係の定義とはとてもつながりが深い。

定義 6.1 (同値関係の定義).集合 X が与えられているとする。 X に次のような条件を満たす「二項関係」「∼」が定まっているとき、「∼」のことを同値関係と言う。

(0) 任意の a, b ∈ X に対して、 a ∼ b か、そうでないかがはっきりと決まっている。

(1) a, b, c ∈ X が、 a ∼ b, b ∼ c を満たせば、 a ∼ c も成り立っている。

(2) 任意の a ∈ X に対して、 a ∼ a が成り立っている。

(3) a, b ∈ X が、 a ∼ b を満たせば、 b ∼ a も成り立っている。

例. つぎの例はそれぞれ X 上の同値関係である。 (1) X = \{ 平面上の三角形\}, a ∼ b ⇔ a と b とは\underline{合同}。

(2) X = \{ 平面上の三角形\}, a ∼ b ⇔ a と b とは\underline{相似}。

(3) X = { 日本人}, a ∼ b ⇔ a と b とは名前が同じ。

(4) X = { 高知大生}, a ∼ b ⇔ a と b とは所属する学科が同じ。

(5) X = ℝ, a ∼ b ⇔ a − b ∈ ℤ.

例. 次の例は X 上の同値関係ではない。 (1) X = { 日本人}, a ∼ b ⇔ a と b とは友達である。

(2) X = ℝ, a ∼ b ⇔ a ≤ b.

集合に同値関係を入れるということは、集合のクラス分けをする事と同じことになる。クラス分けの正確な定義は、次のようになる。

定義 6.2. 集合 X が与えられているとします。 X のクラス分けが与えられている、というのは、次のような条件を満たす X の部分集合の族 {X_{λ}}_{λ∈Λ} が与えられているときに言います。

(1) \{X_{λ}\}_{λ∈Λ} は\underline{互いに交わらない}。すなわち、 λ_{1}, λ_{2} が異なる Λ の元ならば、

X_{λ_{1}} ∩ X_{λ_{2}} = ∅

がなりたつ。

(2) \{X_{λ}\}_{λ∈Λ} は\underline{X 全体を覆いつくす}。すなわち、

⋃_{λ∈Λ} X_{λ} = X

がなりたつ。 (各 X_{λ} のことを「クラス」とか「類」とか呼ぶ。

定理. 集合 X が与えられているとする。このとき、

(1) X 上に同値関係 ∼ が与えられると、 X のクラス分けが、次のようにして定まる。

a ∼ b ⇔ a と b とは同じクラスに属する. (※)

a と同値なものの全体からなる X の部分集合を C(a) と書くと、 X のクラス分けは、 {C(a)}_{a∈X} から同じものを省いたものである。

(2) 逆に、 X 上のクラス分けが与えられているとき、 (※) によって X 上に同値関係が定まる。定義 6.3. 集合 X 上の同値関係 ∼ が与えられているとする。 X のクラスの一つ一つをそれぞれ一つの元とみた集合を、 X の ∼ による商集合と言い、 X/ ∼ で表す。

例. (1) X = { プロ野球選手}, a ∼ b ⇔ a と b との所属チームが同じ. この場合、

X/ ∼= \{ \begin{matrix}巨人、阪神、中日、ヤクルト、広島、横浜、 \\ 近鉄、西武、ロッテ、オリックス、日本ハム、ダイエー \end{matrix} \}

とみなせる。

(2) X = { 高知大生}, a ∼ b ⇔ a と b とは所属する学科が同じ。この場合、

X/ ∼= { 数学科、物理学科、情報学科、 … }

(3) X = ℝ, a ∼ b ⇔ a − b ∈ ℤ. この場合、 X/ ∼ は円周と同一視される。

次の定理は群論ではとても大事である。今回は、群の定義と同値関係の定義との関係に着目して眺める事にする。

定理. 群 G と、その部分群 H とが与えられているとする。このとき、 G に次のような同値関係を入れる事ができる。

a ∼ b ⇔∃h ∈ H s.t., a = bh

※レポート問題今回は、つぎの (I) を必須とします。 (II) 以下は、余力のある人はやってみて下さい。 (期限：次の講義の終了時まで。 )

(I) 集合 X と、その上の同値関係 ∼ の例を挙げ、 X/ ∼ が何になるか答えなさい。 (オリジナルである事。もちろん、どうして同値関係なのか、とか、どうして X/ ∼ は自分の説明のようになるのか、ということについて説明する事が必要です。 )

(II) 群 G が集合 X に作用しているとします。このとき、 X 上に同値関係が、

x ∼ y⇔ ∃g s.t., y = g.x

で定まる事を示しなさい。 (III) 集合 X 上の同値関係 ∼ が与えられていたとします。このとき、次のように

関数 d : X × X → ℝ を定めると、 d は X 上の一つの擬距離を定める事を示しなさい。

d(x, y) = \begin{cases}0 & x ∼ y のとき \\ 25000 & x ∼ y でないとき \end{cases}

( 「d が擬距離を定める」というのは、 d が次の性質をすべて持つときに言います。

(a) ∀x, y ∈ X に対してd(x, y) ≥ 0, ∀x ∈ X に対してd(x, x) = 0 がそれぞれなりたつ。

(b) ∀x, y ∈ X に対してd(x, y) = d(y, x) がなりたつ。

(c) ∀x, y, z ∈ X に対してd(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z) がなりたつ。さらに、擬距離 d が次の性質を持つとき、 d を距離と言います。

d(x, y) = 0 ⟹ x = y

この問題の擬距離が距離でもあるのは、たいそう特別な場合だけです。それはどういう場合か？ )