代数学 A NO.6 要約

今日のテーマ《同値関係》

• \underline{《同値関係》と《クラス分け》とは一つの現象を裏と表とから眺めたものである。} 数学で大事なキーワードとして、「代表元のとり方に依らない」という言葉がある。

X, Y は集合であるとし、 ∼ を X 上の同値関係とする。 X/ ∼ から Y への写像を作る常套手段として、

X/ ∼ の各元 (仮に c とする。 ) について、

(F1) c の代表を一つえらぶ。 (仮に x とする。 ) (F2) x の行き先を与える。 (仮に g(c) とする。 ) (F3) c の行き先は x の行き先と同じと定める。

例えば「きんりょー小学校」 (仮名) の 6 年生の京都の遠足で、自由行動時間にどこに行くか、という話を考えてみよう。自由行動とは言っても小学生のことだから斑単位で行動することにする。 (班から離れてはいけない。 )

X = {x|x はきんりょー小学校の 6 年生}

X ∋ a, b について、 a ∼ b ⇔ a と b とは同じ班

X/ ∼= { 班}

Y = { 京都の地名}(= { 祇園, 木屋町, 金閣寺, 銀閣寺, …, })

このとき、上のステップ (F1),(F2),(F3) はそれぞれ次のように解釈される。

小学生の各班について、

1. その班の代表をひとりえらぶ。

2. その代表に、行き先を決めさせる。

3. その班の行き先はそこにきめる。

こうすると喧嘩が起こるのは目に見えている。「誰を班の代表に選ぶか」によって行き先がかわるのが目に見えているからである。

あらかじめ各班で相談しておいて、班の行き先をはっきり決めたあとなら、このような問題は起こらない。このときには、

(☆) 各班 c について、 c のメンバーを (のべ) 二人とって来て a, b とする。この時、この取り方がどのようなものであっても、これら二人の行き先は一致する。

ということが成り立っているからである。 ((のべ) と書いたのは、 a と b とが一致する可能性を排除しないようにするためである。そうしないと一人だけからなる班 (代表を二人出せない!) は困ってしまう。 )

(☆) のような状況が起こっているのを説明するのが、「代表元の取り方に依らない」という言葉である。

すなわち、ステップ (F1),(F2),(F3) によって X/ ∼ から Y への写像が定義されることを言うためには、次のステップ (F4) が必要である。

(F4) c の代表元 a, b を任意に選んだ時、 g(a) = g(b) が成り立つ。 (例)

n は正の整数であるとし、 X_{n} を「名前付けの拡張されたチャンネルの集合」 (= {[0]_{n}, [1]_{n}, [2]_{n}, …, [n − 1]_{n}}) とする。このとき、次の各々は X_{n} から X_{n} への写像としてうまく定義されている。

1. a([k]) = [k + 1] で定義される a.

2. b([k]) = [1 − k] で定義される b. それに対して、次の各々は X_{n} から X_{n} への写像としてうまく定義されて\underline{いない}。

1. c([k]) = [2^{k}] で “定義され”る c.

2. d([k]) = [k(k + 1)/2] で “定義され”る d.

※レポート問題 (I)

次の各々はそれぞれ X_{5} から X_{5} への写像としてうまく定義されているか、理由をつけて答えなさい。

1. [k] ↦ [3k + 1]

2. [k] ↦ [k^{2}]

3. [k] ↦ [k + \frac{1}{2}]

4. [k] ↦ [\frac{k(k+1)(k+2)}{6}] (II) p を素数とする。このとき、 X_{(p−1)} から X_{p} への写像

[k] ↦ [2^{k}]

は代表元のとり方に依らずに定義されていることを示しなさい。 (ヒント:2^{p} = (1 + 1)^{p} の右辺に二項定理をもちい、さらに、 1 < l < p なら pC_{l} が p で割り切れること (もちろんこのことも証明すること) を用いなさい。