���������

���� 1.1   ��������ϡ���ñ�˸�����

(0)�ݤ������������Ƥ��ơ�

1. ���γݤ����Ϸ��ˡ§����������
2. ����ñ�̸� $e$ ��¸�ߤ���
3. ���ξ��껻��Ǥ��롣

   �Ȥ�����ΤǤ���

   ��������Τ˽���θ��դ��Ѥ��ƽҤ٤ʤ����� (Ŭ�����ܤ�Ĵ�٤ƥΡ���/���Ĥ˽񤭤ʤ�����)

�� 1.1   �� $G$ �Ρֳݤ����פȤ����ΤϽ���θ��դ�Ȥ���ñ�˼���

$$\phi:G\times G \to G$$

�Τ��ȤǤ���(���̤ΰ�̣�Ρֳݤ����פȤϸ¤�ʤ��������դ��ޤ��礦�� ���Ȥ��� $\phi$ ���ºݤˤϡ�­�����פλ��⤢��ޤ��� (��������1.2 �򻲾Ȥλ���) ���μ�κ�����򤱤뤿��ˡ� ���γݤ����λ���־�ˡ�פȤ����ѡפȤ��񤷤����դǸ������Ȥ�¿���Ǥ���)

���� 1.2   ���ޡ�$G$ �Ȥ����������ΤΤʤ����� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ȥꡢ��ˡ $\phi$ ��

$$\phi(a,b)=a+b$$

���������С�$(G,\phi)$ �Ϸ��θ���������������Τ���ʤ�����

���ˡ�

$$\phi(a,b)=ab$$ (1.1)

$$\phi(a,b)=a-b$$ (1.2)

$$\phi(a,b)=b/a$$ (1.3)

���֤����Ȥ��� $(G,\phi)$ ���줾�췲�ˤʤ뤫�ɤ��������ʤ�����(��������ʹ�����ΤȤ��ˤ�������ͳ��Ҥ٤������Ƥ������������Ԥ��Ƥޤ������˸����Τ����ɤ���ʬ����­����Ƥ��뤫��ͤ��Ƥ����������ʲ���Ʊ�͡�)

���� 1.3   ��������ǡ�$G$ �Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus \{0\}$ (ͭ���������Τ��� 0 �Τߤ����������)��Τä��Ȥ��ˤϤɤ��ʤ�ޤ�����

���� 1.4   0 �ʲ������������� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{\leq 0}$ ��­�����ˤĤ��Ʒ��ˤʤäƤ��ޤ����� �������ˤĤ��ƤϤɤ��Ǥ�����

���� 1.5   $\{0,1,2,-1,-2\}$ ��­�����˴ؤ��Ʒ��ˤʤäƤ��ޤ��󡣤ʤ��Ǥ����� $\{1,1/2,2\}$ �ϳݤ����˴ؤ��Ʒ��ˤʤäƤ��ޤ�����

���� 1.6   ͭ���������ǤȤ��� $n\times n$ -�������Τν��� $M_n($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$)$ �ˤĤ��ơ���ˡ�������̾�ΰ�̣���Ѥ�������ޤ������ν���Ϸ��θ������������ޤ�����

���� 1.7   ���� $M$ ���� $M$ �ؤμ������ΤΤʤ����� $S$ ��ͤ��ޤ������ν���˾�ˡ $\phi$ ��ּ����ι�����¨��

$$(\phi(f,g))(x)=f(g(x))$$

������Ǥ��ޤ��������Τ���ʤ����� $(S,\phi)$ �Ϸ��ˤʤ�ޤ�����

���� 1.8   ���γơ��Τ�Τϡ������ˤʤäƤ��ޤ��������������͡�ñ�͡���ñ�ͤǤ�����

1. $f_1:\{$$3$ ���ܿ�$\}\to \{$$6$ ���ܿ�$\}$ ��
   $$f_1(x)=4x$$
   ������������
2. $f_2:\{$$3$ ���ܿ�$\}\to \{$$6$ ���ܿ�$\}$ ��
   $$f_2(x)=x^2$$
   ������������
3. $f_3:\{$$2$ ���ܿ�$\}\to \{$$8$ ���ܿ�$\}$ ��
   $$f_3(x)=4x$$
   ������������
4. $f_4:\{$$2$ ���ܿ�$\}\to \{$$8$ ���ܿ�$\}$ ��
   $$f_4(x)=x^3$$
   ������������

����

���ؤǤϡ�$3$ ���ܿ��Ȥ����С���Τ�Τ� 0 ��ޤߤޤ��� �ޤ����� $\{$$3$ ���ܿ�$\}$ �� �Ȥ����Τ� $3$ ���ܿ����ΤȤ�����̣�Ǥ���

$$\{$$$3$ ���ܿ�$$\}=\{3\times n;$$   $n$ ������$$\}$$

���ν�������� $3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ƚ񤭤ޤ���

���� 1.9   ʣ�ǿ����Τν���� ${\mathbb{C}}$ �Ƚñ¤­¤Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ ${\mathbb{C}}$ ���� $\{0\}$ ����������� ${\mathbb{C}}\setminus \{0\}$ �Ϥ������˴ؤ��Ʒ���ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ �ä�

$$a+bi\quad (a,b \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

�εո�����ʤ�����

���� 1.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �˼��Τ褦�ʱ黻�ò¤¤¤ì¤¿ï¿½ï¿½Î¤Ï·ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ë¤³ï¿½È¤ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$\phi (x,y)=x+y-5$$

���� 1.11   $n$ �����¥٥��ȥ����

$$\left\{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix}; a_1,a_2\dots a_n \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

��­�����˴ؤ��Ʒ��ˤʤ뤫�ɤ����������ʤ�����

��� 1.1 (��ǧ)   �� $G$ ����ʬ���� $S,T$ �ˤĤ��ơ����Ρ��ѡ�$ST$ ����

$$ST=\{st;s\in S,t\in T\}$$

���������ޤ��� $S^2, S^{-1}$ ���ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤǤ���

���� 1.12   $G$ ��0 �ʳ���ͭ�������Τ˾�ˡ���̾�γݤ���������������Ȥ��ޤ��� $(G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times,\times)$ �������$G$ ����ʬ���� $A=\{2,3\}, B=\{2/3,4,5\}$ �ˤĤ��ơ�

$$AB, A^2,A^{-1}, AA^{-1}, A^2B$$

��׻����ʤ�����

(��)

http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/

�˥�����������ȡ����Υץ��ȼ��Τ��Ȥ�ޤ��Τǡ� �����λ��֤ˤȤ�»�ʤä��ͤϡ��Ƽ���������ȤäƤ���������