����� C(����) �齬���� No.13

��� 13.1   �� $G$ ��� $X$ �ؤκ��ѤȤϡ����Τ褦�ʾ�������������

$$G\times X \ni (g,x)\to g.x \in X$$

�Τ��ȤǤ���

1. $(g_1 g_2). x = g_1.(g_2. x)$ ( $\forall g_1,g_2\in G, \forall x \in X$ ).
2. $e.x=x$ ( $\forall x \in X$ ).

���� 13.1   �� $G$ ��� $X$ �ؤκ��Ѥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ����� $g\in G$ �ˤ������ơ�

$$\alpha_g: X\ni x \mapsto g.x \in X$$

����ñ�ͤǤ��뤳�Ȥ�������ʤ�����

���� 13.2   �� $G$ ��ͭ�·��ǡ�������ñ�㷲�����ʤ�� $G$ �ˤ� $e$ �� $G$ �ʳ��� ������ʬ����¸�ߤ��ʤ����Ȳ��ꤹ�롣���ΤȤ��� $1 < d <\vert G\vert$ ��ߤ����褦���������� $d$ �ˤ������ơ� �̿� $d$ �� $G$ ����ʬ�� $H$ �ο� $m_d$ �ϡ�$0$ �����ޤ���

$$\vert G\vert \leq m_d!$$

��ߤ������Ȥ�������ʤ�����

���� 13.3   �� $G$ �� $X$ �ؤκ��Ѥ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ����� $x \in X$ �ˤ������ơ�

$$G_x=\{g\in X; g. x= x\}$$

�� $G$ ����ʬ���Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����

���� 13.4   ͭ�·� $G$ ��ͭ�½��� $X$ �˺��Ѥ��Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ����� $x \in X$ ������

$$\operatorname{Orbit}(x)=\{g.x ; g\in G\}$$

�Ȥ����ȡ� $\operatorname{Orbit}(x)$ �θ��θĿ���

$$\vert G\vert/\vert G_x\vert$$

�����������Ȥ�������ʤ�����

���� 13.5   �� $G$ ��ͭ�·��Ǥ���Ȳ��ꤷ�� $G$ ����ʬ�� $H$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$H$ �� $G$ �Τʤ��Ƕ���ʷ��θĿ� $s$ �ϡ� $\vert G\vert/\vert H\vert$ ������Ǥ��뤳�� ��������ʤ�����

���� 13.6   �� $G$ �ΰ̿��� $pq$ ($p,q$ ���ǿ��ǡ�$p<q$ )���ä��Ȥ��롣 ���ΤȤ���$G$ ����ʬ�� $N$ �ΰ̿��� $q$ �ʤ顢$N$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 13.7   �� $G$ �ΰ̿��� $pq$ ($p,q$ ���ǿ��ǡ�$p<q$ )���ä��Ȥ��롣 ���ΤȤ���$G$ �ˤϰ̿� $q$ ����ʬ����¸�ߤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (�����������������̤ξ��:��������������Ȥ鷺�˾������뤳�ȡ�)