�����III ���� No.8

�����Υơ���

$$X^3-a X^2+b X- c=0$$

��򤳤��������������κ��� $x_1,x_2,x_3$ �Ȥ��롣 �������Ǥ��뤫������Ū���Τ�ʤ��櫓����������¸�ߤϴ����ΤäƤ��롣 $x_1,x_2,x_3$ �λ�����������ջ����ơ����β����򸫤褦�Ȥ����櫓����

���Ȳ�ΰ㤤�ϲ�����������������������������Ƥߤ��Ȥ��� �����Ǥ��롣 ���ϡ���äȺ���Ū�ʤ�Τǡ�

$$X^3-a X^2+b X -c =(X- x_1)(X- x_2)(X-x_3)$$ (��)

�Ȱ켡�����Ѥ˰���ʬ�򤷤��Ȥ��˸�����Τ򤵤��� (�������äơ��������������֤�(�ź�)���Ȥ⤢�롣 �ֺ��פȤ����Ȥ��ˤϸ�̩�ˤ�¿�༰ $X^3-a X^2 +b X -c$ �κ��Ȥ����Τ���������)

��μ�(��)��Ÿ�����뤳�Ȥˤ�ꡢ�����뺬�ȷ����δط�

$$x_1+x_2+x_3=a ,\quad x_1 x_2 +x_2 x_3 +x_3 x_1=b,\quad x_1 x_2 x_3=c$$

�������롣$a,b,c$ ���ΤäƤ���������顢 $x_1,x_2,x_3$ �� �����оμ����ͤ��ΤäƤ���Ȥ������Ȥˤʤ롣����˽Ҥ٤����Ȥˤ�ꡢ $x_1,x_2,x_3$ ���оμ����ͤ⤳��餫��( $x_1,x_2,x_3$ ���ͤ���̤��Τ�ʤ��Ƥ�) �׻��Ǥ��롣

�������äơ�ǡ���ˤ����������оμ����뤫��������ˤʤ롣�饰��󥸥��ʬ��

$$r_1=x_1 +\omega x_2 +\omega^2 x_3,\quad r_2=x_1 +\omega^2 x_2 +\omega x_3$$

��ͤ��Ƥߤ褦��(������ $\omega=(-1+\sqrt{-3})/2$ .) ����鼫�Τ� $x_1,x_2,x_3$ ���оμ��ǤϤʤ�����

���� 8.1   $t_1=r_1^3+r_2^3$ �� $t_2=r_1^3 r_2^3$ �ϤȤ�� $x_1,x_2,x_3$ �� �оμ��Ǥ��롣

�оμ��˴ؤ���������ˤ�� $t_1,t_2$ �Ϥ�Ȥη��� $a,b,c$ ��¿�༰�Ǥ��뤳�Ȥ� �狼�롣(�ºݤ˷׻����Ƥߤ�� $r_1 r_2$ ���оμ��Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣) ����Ū�ˤ�

$$% latex2html id marker 763 \begin{alignedat}{1} &t_1=2 S_{x_1^... ...r_2=S_{x_1^2}-S_{x_1 x_2},\qquad t_2=(r_1 r_2)^3. \end{alignedat}$$

�������äơ� $r_1^3,r_2^3$ ����������

$$X^2-t_1 X +t_2=0$$

��2���Ȥ��Ʒ׻����뤳�Ȥ��Ǥ��� ������3�躬�Ȥ��� $r_1,r_2$ ��ޤ��׻��Ǥ��롣�������� $x_1,x_2,x_3$ �� �Ф��Τϼ¤ϰ켡��������򤱤Ф褤�ΤǴ�ñ�Ǥ��롣

4���������ξ���ͤ��褦��(���ڡ����ȵ��椬������ʣ���뤬���𤷤ʤ�����) ���� $x_1,x_2,x_3,x_4$ �Ȥ����ȡ�

$$X^4-a X^3+b X^2 -c X +d = (X- x_1)(X- x_2)(X-x_3)(X-x_4).$$

�������麬�ȷ����δط�������졢��Ϥ� $x_1,x_2,x_3,x_4$ �� �оμ��� $a,b,c,d$ ����( $x_1,x_2,x_3,x_4$ ���ͤ��Τ�ʤ��Ƥ�) �׻��Ǥ��롣

�饰��󥸥��ʬ�򼰤Ȥ��ơ�

$$r_1=x_1 - x_2 +x_3-x_4, \quad r_2=x_1 - x_2 -x_3+x_4, \quad r_3=x_1 + x_2 -x_3-x_4$$

��Ȥ롣 $r_1^2, r_2^2, r_3^2$ �δ����оμ�

$$u_1= r_1^2 +r_2^2+r_3^2, \quad u_2=r_1^2 r_2^2 +r_2^2 r_3^2 +r_3^2 r_1^2 , \quad u_3=r_1^2 r_2^2 r_3^2$$

�Ϥ��줾�� $x_1,x_2,x_3,x_4$ ���оμ��ˤʤäƤ��뤳�Ȥ�ʬ���ꡢ�������ä� $a,b,c,d$ ����׻��Ǥ��롣 ���ʤ���� $r_1^2, r_2^2, r_3^2$ ��

$$X^3 -u_1 X^2 + u_2 X - u_3$$

�λ����Ǥ��뤫�顢���ʤΤ褦�˶Һ����Ѥ��� $a,b,c,d$ ����׻��Ǥ��롣 ���ȤϤ���ʿ������׻�����С� $r_1,r_2,r_3$ ���׻�����ơ� �켡�������κ��Ȥ��� $x_1,x_2,x_3,x_4$ ���׻������Ȥ������ȤǤ��롣

���� 8.1   3���������β�ˡ�ǡ������ (*)����������ʤ�����

���� 8.2   3���������β�ˡ�ǡ������ $t_1,t_2$ �� $a,b,c$ ��ɽ���ʤ�����

���� 8.3   �ͼ��������β�ˡ�ǡ� $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ �� $a,b,c,d$ ��¿�༰�Ȥ��Ƽºݤ˽ñ¤­²ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (�ä�����Ȥ����ۤɤǤϤʤ������׻��Ϥ��ʤ����ݤǤ��롣 ��ǽ�ʤ�п����������եȤʤɤ���Ѥ���Ȥ褤��)