���س���1A���� No.12

��� 12.1 (``���ʽ�1.1.4'')   �ؿ� $f:X\to Y$ ��

1. ñ�� �Ǥ���Ȥϡ�
   $$x_1,x_2 \in X , f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$$
   ����������ȡ�
   $$x_1,x_2 \in X , x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$$
   �Ǥ���Ȥ��ˤ�����
2. �����Ǥ���Ȥϡ�
   $$\forall y\in Y \exists x\in X ; f(x)=y$$
   �Ǥ���Ȥ��ˤ�����
3. ��ñ���Ǥ���Ȥϡ�ñ�ͤǤ������ͤǤ⤢����˸�����

$X$ ���ݤν��硢$Y$ ���ȥ�ν�����Ȥ��롣�ؿ��Ȥϡ� $X$ �Τ��Τ��Τ���ҤȤĤŤ����ȯ�͡����줾��ɤ줫�� �ȥ�����Ƥ뤳�Ȥ��̣���Ƥ��롣

$f$ ��ñ�ͤǤ���Ȥϡ��ơ����𤬤��줾���̤Υȥ�� ������(��ĤΥȥ����İʾ���������뤳�ȤϤʤ�)�ȸ�����̣�� $f$ �����ͤǤ���Ȥϡ����٤Ƥ��𤬤����ˤ������ƤΥȥ�ˤ����� �Ȥ�����̣�Ǥ��롣

Ʊ�����Ǥ������ $X$ �� ���� $Y$ �����Ǥ��뤫�ˤ�äơ����ͤ�ñ�ͤ��� �ۤʤ롣 ���Τ��Ȥϡ���ñ�������ѽ��פǤ��롣

���� 12.1  

1. �ؿ� $f:X\to Y$ ����ñ�ͤʤ�С� $f$ �εռ�����¸�ߤ��롣
2. �դ� �ؿ� $f:X\to Y$ ���ռ�������Ĥʤ�С�$f$ ����ñ�ͤǤ��롣
3. �ؿ� $f$ �εռ����ϡ�¸�ߤ���а��Ū�Ǥ��롣

Ϣ³�ؿ��ξ��Ϥɤ��Ǥ������������ѿ��Ǥϴؿ���ñĴ���������ˤʤ롣

��� 12.2 (``1.3.6'')   �¿��Τ����� $I$ ��������줿�ؿ� $f$ ������ñĴ���ôؿ��Ǥ���Ȥϡ�

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

��ߤ����Ȥ��ˤ�����

���� 12.2 (``���ʽ�����1.16'')   $f$ ���Ķ�� $[a,b]$ ��ζ���ñĴ���ä�Ϣ³�ؿ��Ǥ���С�

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

�εմؿ�

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

��¸�ߤ��롣 ����ˡ����� $f^{-1}$ ��Ϣ³�ǡ����Ķ���ñĴ���äǤ��롣

���� 12.1   $f$ ���Ķ�� $[0,1]$ ��μ¿���Ϣ³�ؿ� ( $f:[0,1]\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ) �ǡ� $f(0)<f(1)$ �Ǥ���Ȥ��롣 $f$ ��ñ�ͤʤ�С� $f$ �϶���ñĴ���äǤʤ���� �ʤ�ʤ����Ȥ�������ʤ�����

�ä������㤦�������֤������м��Τ��Ȥ�������Ƥ������� (�Ȥ��Τ���ش�����ʬ���ΤȤ���)

���� 12.3   �Ķ�� $[a,b]$ ���Ϣ³�ؿ� $f$ ������Ϣ³�Ǥ��롣���ʤ��

$$\forall \epsilon>0 \in [a,b] \exists \delta>0 ; \forall x\in [a,... ... \in [a,b] ( \vert y-x\vert<\delta \implies \vert f(y)-f(x)\vert<\epsilon)$$

���ʤꤿ�ġ�