����ر齬 IB ���� No.3

��� 3.1   �� $R$ ����ʬ���礬 $R$ �����ǥ����Ǥ���Ȥϡ�

1. $I$ �� $(R,+)$ ����ʬ�÷��Ǥ��롣
2. $r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$

�����郎����Ω�ĤȤ��˸����ޤ���

���� 3.1   �� $R$ ����ʬ���� $\{0\}$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(�̾� $\{0\}$ ��ñ�� 0 �Ǥ���路�ޤ���)

���� 3.2 (��1)   ���γ� $R,I$ ���ȹ礻�ˤ����ơ���$I$ �ϴ� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ���� �Ȥ����������������ͳ�ò¤¢¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $R=\mathbb{N}$ , $I=0$ .
2. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
3. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $I=\mathbb{N}$ .
4. $R=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
5. $R={\mathbb{C}}$ , $I=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
6. $R={\mathbb{C}}[X]$ , $I={\mathbb{C}}$ .
7. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $I=$ (�ǿ�������).

��� 3.2   �� $R$ ����ʬ���� $A,B$ �ˤ������ơ�

1. $A+B= \{a+b; a\in A, b\in B\}$ .
2. $A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ .

��������ޤ���¾��ʶ�줬�ʤ����ˤϡ� $A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ �Τ��Ȥ� ñ�� $A B$ �Ȥ�񤭤ޤ���

���� 3.3   $I,J$ ���� $R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�$I\cap J$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.4   $I,J$ ���� $R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�$I\cup J$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ���� ���������������

���� 3.5   $I,J$ ���� $R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�

$$I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\}$$

�� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ����ʬ����

$$I=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; \text{$f$ ¤ÎÄê¿ô¹à¤Ï $2$ ¤ÎÇÜ¿ô}\}$$

�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �Υ��ǥ������������

���� 3.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ����ʬ����

$$J=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; f(0)\in 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\text{ and } f'(0)\in 3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �Υ��ǥ������������

���� 3.8   $I,J$ ���Ĵ��� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ���ˤ⤫����餺

$$I\underset{\text{(set)}}{\cdot} J=\{ a b; a \in I, b \in J \}$$

($I$ �� $J$ �� $R$ ����ʬ����Ȥ��Ƥ���)�� $R$ �Υ��ǥ���ˤʤ�ʤ��褦��������Ū�ˤ����ʤ�����

���� 3.9   $I,J$ ���Ĵ��� $R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�

$$IJ=\{\sum_i a_ib_i ($$ͭ����$$); a_i\in I, b_i \in J \}$$   (����)

�� $R$ �Υ��ǥ���Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����($I J$ �Τ��Ȥ� $I$ �� $J$ �� ���ǥ���Ȥ��Ƥ����ȸƤ֡�

���� 3.10   �Ĵ��� $R$ ���������

$$P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\}$$

�� $R$ �Υ��ǥ���Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 3.3   ñ�̸�����IJĴ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�Ȥϡ�

$$a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad (a_n,\dots,a_0 \in R)$$

�Τ褦��ɽ������ΤΤ��ȤǤ���$R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�����ΤϴĤ�ʤ��ޤ��� ����� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�Ĥȸ��äơ�$R[X]$ �Ǥ���路�ޤ��� �ʲ����ݤʤΤǡ԰��ѿ�¿�༰�դ��ФƤ�������Ǥϡ� $R$ ��ñ�̸�����IJĴ��ĤǤ���Ȳ��ꤷ�Ƥ��뤳�Ȥˤ��ޤ���

���� 3.11 (ñ�̸�����IJĴ�)   �� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $f(X)$ �� $R$ �θ� $a$ �ˤĤ��ơ�$f(a)=0$ �ʤ�С�

$$f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X]$$

�Ȥ���碌�뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 3.4   �� $R$ �θ� $a$ �ϡ�

$$ab=0$$

�ʤ� $b(\neq 0)\in R$ ��¸�ߤ���Ȥ������������ȸƤФ�ޤ��� ����������Ʊ�ͤ��������ޤ��� �Ĵ��ĤǤϡ������ζ��̤�����ʤ��Τǡ�ñ���������ȸƤӤޤ��� �����Ҥ� 0 �����ʤ��Ĵ��Ĥ������ȸƤӤޤ���

���� 3.12   ���� $R$ ��� ���ѿ�¿�༰ $f(X)$ �ϡ�$R$ �˹⡹ $d$ �Ĥ�����������ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.13   �Ĵ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $f(X)$ �η����Τ������������Ҥ�����С�$f(X)$ �� $R[X]$ ���������ҤȤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.14   ͭ������ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������ѿ�¿�༰�� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]$ �Υ��ǥ��� $I$ �� $X+Y(X+1),Y,X^2$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½$I$ �� $X,Y$ �⸵�Ȥ��ƴޤळ�Ȥ� �����ʤ�����

���� 3.15 (��1)   ͭ������ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������ѿ�¿�༰�� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]$ �Υ��ǥ��� $J$ �� $X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $J$ �� $X+Y,Y^2-Y$ �򸵤Ȥ��ƴޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $X+Y,Y^2-Y$ �򸵤Ȥ��ƴޤ�褦�� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X,Y]$ �Υ��ǥ���� ɬ�� $J$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����