����ر齬 I ���� No.5

���� 5.1 (��1)   $I$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ȥ��ޤ������λ���

1. $a,b$ �� $I$ �θ��ǡ�$a$ �����ο��ʤ�С�$b$ �� $a$ �dz�ä�;�� $r$ �� $I$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $I=0$ �ΤȤ�������ȡ�$I$ �θ���������ǺǾ��Τ�Τ�¸�ߤ��ޤ�������� $a_0$ �Ȥ����ȡ�$I$ ��Ǥ�դθ��� $a_0$ �dz���ڤ�뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $I=a_0 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 5.2 (��1)   $I$ �� ${\mathbb{C}}[X]$ �Υ��ǥ���Ȥ��ޤ������λ���

1. $f,g$ �� $I$ �θ��ǡ�$f$ �� 0 �Ǥʤ��ʤ�С�$g$ �� $f$ �dz�ä�;�� $r$ �� $I$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $I=0$ �ΤȤ�������ȡ�$I$ �θ�����Ǽ������Ǿ��Τ�Τ�¸�ߤ��ޤ�������� $f_0$ �Ȥ����ȡ�$I$ ��Ǥ�դθ��� $f_0$ �dz���ڤ�뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $I=f_0 {\mathbb{C}}[X]$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 5.3 (��1)  

1. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ�������� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���򤹤٤Ƶ��ʤ�����
3. $({\mathbb{C}}[X],+)$ ����ʬ���ǡ� ${\mathbb{C}}[X]$ �Υ��ǥ���ǤϤʤ���Τ����󤲤ʤ�����

���� 5.4   $a$ ��ʣ�ǿ��Ȥ��ޤ������ΤȤ���

1. ���ѿ�¿�༰ $f(X)$ �� $X-a$ �dz�ä��Ȥ���;��� $f(a)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ${\mathbb{C}}[X]/(X-a){\mathbb{C}}[X]$ �Τ��٤Ƥθ��ϡ�����ʣ�ǿ� $c$ (��Ʊ����)�����������Ȥ򼨤��ʤ�����

�� $R$ ���Ф��ơ����θ�����ʬ�ˤ�Ĺ����ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��� �̾�ΰ�̣���¡������Ѥ�(�����������äƤ���Ȥ������Τ�Ȥ�) �������ơ���ǯ���ǽ�����������Τ��ʤ����ʬ�����Τޤ� ��������

$$M_n(R)=\{$$$R$ �θ�����ʬ�ˤ�� $n×n$ ����$$\}$$

�Ȥ����ȡ������(�Ĵ��ǤϤʤ�)�ĤǤ��롣 ����ñ�̸��� $1_n$ ($n$ ����ñ�̹���).

���� 5.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ�����ʬ�ˤ�Ĺ������

$$\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6\\ 7& 8 & 0\\ \end{pmatrix}$$

��׻������Ǥ��������ñ�ʷ������ʤ������ʬ�������ͤ� 14�ʲ��������ˤ�ä�ɽ����Ƥ�����ˤʤ�褦��ľ���ʤ�����

���� 5.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/14{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/16{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.9 (�Ĵ��Ȥϸ¤�ʤ�)   �� $R$ �θ�����ʬ�ˤ��� $m,n$ ���� $A$ �� $n,m$ ���� $B$ �Ȥˤ������ơ�

$$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ�������ʤ�����

���� 5.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����¸�ߤ������������ ���󼰤ξ�ˡ��

$$\operatorname{det}(X)\operatorname{det}(Y)=\operatorname{det}(X Y)$$

�˴�Ť��������ʤ�����

���� 5.11   �ɤ������ $n$ ���Ф��Ƥ⡢

$$AB-BA=1_n$$

��ߤ������� $A,B \in M_n({\mathbb{C}})$ ��¸�ߤ��ʤ����Ȥ򼨤��ʤ����� (�ҥ��:�ȥ졼��)

���� 5.12   �ǿ� $p$ �ˤĤ��ơ� $A,B\in M_p({\mathbb{F}}_p)$ �ǡ�

$$AB-BA=1_p$$

����������Τ����󤲤ʤ����� (���ʤ�����Ǥ��롣$p=3,5$ �ΤȤ��ˤޤ���Ƥߤ���ɤ������Τ�ʤ���)

���� 5.13   �� $K$ ���ǿ� $q$ ���������� $l$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� �� $K^\times$ �θ� $x$ �Ρ�$K^\times$ �θ��Ȥ��Ƥΰ̿�(=��ˡŪ�̿�) �� $q^l$ ������Ǥ���褦�ʸ������ΤϽ�󷲤�ʤ����Ȥ� �����ʤ�����

���� 5.14   ͭ���� $K$ ���� $A \in M_n(K)$ ����$M_n(K)$ ����Dzĵդʤ顢 ������������ $m$ �ˤĤ���

$$A^m=1_n \quad($$������ $n$ ��ñ�̹���$$)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ�������ʤ�����