����ر齬 I ���� No.6

���� 6.1 (������1��)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ؤμ��μ����Ϥ������Ľ�Ʊ���Ǥʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $f_1(x)=(x+1)/2$
2. $f_2(x)=x^2$
3. $f_3(x)=2 x-1$
4. $f_4(x)=x^3+x^2-x$

���� 6.2 (������1)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤδĽ�Ʊ�� $\varphi$ �����ä��Ȥ��롣

1. $\varphi(2),\varphi(3)$ ����衣
2. Ǥ�դ� $k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ �ˤ������ơ� $\varphi(k)=k$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $\varphi(k)=k \qquad(\forall k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ �򼨤��ʤ�����

���� 6.3 (������1)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤδĽ�Ʊ�� $\varphi$ �ǡ� $\varphi(X)=3$ ��ߤ������ �����ä��Ȥ��롣

1. $\varphi(k)=k \qquad(\forall k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ �򼨤��ʤ�����
2. $\varphi(5X),\varphi(X^3)$ �򤽤줾���Ȥ�ʤ�����
3. $\varphi(X^3+5 X +7)$ ���Ȥ�ʤ�����
4. $p(X)=\sum_j a_j X^j$ �ˤ������ơ� $\varphi(p)$ ���Ȥ�ʤ�����

���� 6.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤδĽ�Ʊ���� ¸�ߤ������������¸�ߤ�����ˤ����Ƶ󤲡� ¸�ߤ��ʤ����Ϥ�����ͳ��Τ٤衣

���� 6.5   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤδĽ�Ʊ���� ¸�ߤ������������¸�ߤ�����ˤ����Ƶ󤲡� ¸�ߤ��ʤ����Ϥ�����ͳ��Τ٤衣

���� 6.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤδĽ�Ʊ���� ¸�ߤ������������¸�ߤ�����ˤ����Ƶ󤲡� ¸�ߤ��ʤ����Ϥ�����ͳ��Τ٤衣

���� 6.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤδĽ�Ʊ���� ¸�ߤ������������¸�ߤ�����ˤ����Ƶ󤲡� ¸�ߤ��ʤ����Ϥ�����ͳ��Τ٤衣

���� 6.8 (��1��)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ؤδĽ�Ʊ�� $f$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���Ȥ���

1. $f($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}) \subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ �Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
2. $x,y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $x\leq y$ �ʤ�� $f(x)\leq f(y)$ �Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
3. $f$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $f={\operatorname{id}}$ (��������) �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 6.9   ${\mathbb{C}}$ ���� ${\mathbb{C}}$ �ؤν�Ʊ��������������(�ʾ�)�󤲤ʤ����� (��ĤϤ��ʤ��ñ�˸��Ĥ��뤬�����Ĥ��󤲤�Τ�Ķ����Ǥ��롣 ����椨���������Τ�̵��Ǥ��롣)

�ʲ����α齬�Ǥϡ��Ȥ����Ǥ�ʤ��� $[?]_n$ �� $?$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ǤΥ��饹��ɽ�����Ȥ����롣 ʸ̮�Ǥ狼��Ȼפ��Τǡ����������񤫤ʤ��������դ��Ƥ�������������

���� 6.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f([x]_{20})=[x]_5 \qquad (x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

�����롣 ���ΤȤ���$f$ �Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ��Ľ�Ʊ���Ǥ��� ���Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 6.11   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/31{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f([x]_{31})=[x]_7 \qquad(x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

����᤿������$f$ �Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ��Ľ�Ʊ���Ǥ��� ������������ͳ��Ĥ��������ʤ�����

���� 6.12   �� $K$ ���� �� $R$ �ؤν�Ʊ�������� ɬ��ñ�ͤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.13   �Ľ�Ʊ������ $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [x]_{18}\mapsto [x]_6 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ͤ��롣 ����ܤ� $x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (18��), ����ܤ� $f(x)$ ���¤���褦��ɽ���ꡢ $\operatorname{Ker}(f)$ , $f^{-1}([1]_6)$ , $f^{-1}([2]_6)$ �ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.14   �Ľ�Ʊ������ $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [x]_{20} \mapsto [x]_{4}\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ͤ��롣 ����ܤ� $x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (18��), ����ܤ� $f(x)$ ���¤���褦��ɽ���ꡢ $\operatorname{Ker}(f)$ , $f^{-1}([1]_6)$ , $f^{-1}([2]_6)$ �ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 6.15   ����

$$A= \begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 7 \end{pmatrix}\in M_n({\mathbb{C}})$$

�ˤ������ơ�

$$\varphi:{\mathbb{C}}[X] \to M_n({\mathbb{C}})$$

��

$$\varphi(p)=p(A)$$

��������롣 ���ΤȤ���

1. $\varphi(X),\varphi(X^2),\varphi(X^3)$ ����ʤ�����
2. $\varphi(X^7+X+1)$ ���Ȥ�ʤ�����
3. $\varphi$ �ϴĽ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
4. $\operatorname{Ker}(\varphi)$ ����ʤ�����

5. $$\operatorname{Image}(\varphi)= \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}; a,b\in {\mathbb{C}} \right\}$$
   �Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����