���ϳ� IA No.8����

�켡������󼡶����(�ޤȤ�)

$f$ ����ʬ�Ȥϡ�$f$ �ΰ켡����Τ��ȤʤΤǤ��ä��� ����������ȡ��٥��ȥ� $a$ �� $h=(h_i)$ �Ȥ��Ф��ơ�

$$f(a+h)=f(a)+\sum_i f_{x_i}(a) h_i + o(\vert\vert h\vert\vert).$$

��ʬ��켡����θ��դDz�᤹�뤳�Ȥˤ�ꡢ�͡��ʸ��������򤷤䤹���ʤꡢ �Ф��䤹���ʤ롣����ϰ��ѿ��Ǥ⤽���ǡ��㤨�С�

$$(f\circ g)'(a)=f'(g(a)) g'(a)$$

��

$$g(a+h)=g(a)+ g'(a) h +o(\vert h\vert)$$

��

$$f(u+v)=f(u)+f'(u) v + o(\vert v\vert)$$

�Ȥ����켡����ι����Ȥ�������Ǥ��롣

$f$ �Υƥ��顼Ÿ���Ȥϡ�����˹⼡�ι��ޤ�ƶ�����ɤ����뤳�Ȥ��������롣 �㤨�С�$f$ ���󼡶����

$$f(a+h)=f(a)+\sum_i f_{x_i}(a) h_i +\frac{1}{2} \sum_{i,j} f_{x_i x_j} h_i h_j+ o(\vert\vert h\vert\vert^2).$$

�Ǥ��롣 �Ȥ��ˡ����ѿ��Ǥϡ�

$$f(a+h,b+k) =f(a,b)+f_{x}(a,b)h + f_y(a,b) k$$

$$+ \frac{1}{2} f_{xx}(a,b) h^2 +2 f_{xy}(a,b) hk +f_{yy}(a,b) k^2 +o(\vert\vert h,k\vert\vert^2)$$

�Ȥ������˽񤱤롣 �󼡶�����ä��ܤ��ä�Ư���򸫤���Τϡ�$Df(a)=0$ ���ʤ����$f$ �� $1$ �� ������ä��Ƥ��ޤäƤ���Ȥ��Ǥ��롣���ΤȤ��ˤ��󼡤ιब�����������åפ���� ���Ȥˤʤ롣 ���ѿ��ξ��Ǥ����С� $f_x(a,b)=0$ ���� $f_y(a,b)=0$ �ΤȤ���

$$f(a+h,b+k)=f(a,b) +\frac{1}{2} f_{xx}(a,b) h^2 +2 f_{xy}(a,b) hk +f_{yy}(a,b) k^2 +o(\vert\vert h,k\vert\vert^2)$$

������Ω�Ĥ��Ȥ��̣���Ƥ��롣����ϡ�$f$ �� $(a,b)$ ���ն�Ǥε�ư�� ��ޤ��� �󼡼��ǵ��ҤǤ���Ȥ������Ȥ���äƤ��롣

���ʽ��``����4.11(���ͤ�Ƚ��ˡ)''�Ϥ��ιͤ��˴�Ť��Ƥ��ꡢ �����ιͤ����ϰ��ѿ��ξ��˽ऺ�롣

â���󼡷����ΰ������Ȥ����⼡�������꤬�ĤäƤ����� ����ˤĤ��Ƥ���������ؤǰ���(�����Τ�ʤ���)

���ѿ��󼡷������㳰Ū�ˤ䤵������������ܼ�Ū�˰��ѿ����󼡼��� �����Τ�Ʊ���˰����뤫��Ǥ��롣���Ȥ���

$$x^2+2xy+ y^2 =(x+y)^2, \quad x^2+2xy+ 2y^2 =(x+y)^2+y^2$$

�Ϥ��줾��

$$x^2+2 x + 1= (x+1)^2 ,\quad x^2+2 x + 2= (x+1)^2+1$$

���б����Ƥ��롣(���ιͤ����ϼ����Ƽ��������Ƽ������äȤ��ư��̲�����롣)

����ݡ������� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 8.1   ���ѿ��Υƥ��顼Ÿ�����μ����Ѥ��ơ� ���ꤷ�� $t$ �ˤĤ���

$$\sin(t+\Delta t)=\sin(t)+ c_1 \Delta t + c_2 (\Delta t)^2 +o(\vert\Delta t\vert^2)$$

��ߤ��� $c_1$ , $c_2$ ����ʤ�����(��;���ɾ�����ξܺ٤����ʤ���) ����ˡ� $f(x,y)=x^2 y$ �ˤ������ơ� $f(a+h,b+k)$ �� $h,k$ �ˤĤ�������������Τ�嵭�μ����������뤳�Ȥˤ�ꡢ $\sin(x^2 y)$ �� $a,b$ �ˤ����� 2���������ʤ�����