�����Ƚ������� No.12

��12���ܤμ��� :

��� 12.1 (��)   ���� $f: X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���

1. $X$ ����ʬ���� $A$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ�� ��(�����Ȥ����) $f(A)$ ��
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   ��������롣

2. $Y$ ����ʬ���� $B$ ���Ф��ơ����� $f$ �ˤ������ $\overset{-1}{f}(B)$ ��
   $$\overset{-1}{f}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   �ˤ��������롣

���� 12.1 (��)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˤ������ơ�

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ ����衣
2. $\overset{-1}{f}(\{-3\})$ ����衣
3. $\overset{-1}{f}([1,5])$ ����衣
4. $\overset{-1}{f}([3,4])$ ���Ȥ�衣

���̤ˡ����� $f: X\to Y$ ��Ϳ������ȡ�$X$ �θ��� $f$ ���ͤˤ�ä� ���饹ʬ������롣

���� 12.2   $f: X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $y\in Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(\{y\})$ �Τ��Ȥ� $X_{y}$ �� �ñ¤¯¤ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½ë¡£ ���Τ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $X$ �� $\{X_y\}_{y\in Y}$ ���½���Ǥ��롣
2. $y\in Y$ ���Ф��ơ� $\overset{-1}{f}(\{y\})\neq \emptyset {\Leftrightarrow} y \in f(Y)$ .
3. $X_y \cap X_{y'}\neq \emptyset {\Leftrightarrow} X_y = X_{y'}$ .

$X_y$ �Τʤ��ǡ���ʣ�����Τ�ʤ����Ȥˤ�ꡢ $X$ �β��ΰ�̣�ǤΥ��饹ʬ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣 (��̩�ˤ�����������ꤹ��ɬ�פ����롣)

��� 12.2   ���� $X$ ����ʬ�����² $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ �� $X$ �����饹ʬ�� (ʬ���Ȥ����)�Ǥ���Ȥϡ��Ĥ��Τ��Ȥ�����Ω�ĤȤ��˸�����

1. $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$$ .
2. $\lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , $\lambda_1 \neq \lambda_2$ �ʤ�� $C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

�����饹ʬ����Ʊ�ʹط���

���饹ʬ���ϡ��֥��饹ʬ����ɽ��񤯡פ��Ȥˤ��������뤳�Ȥ��Ǥ��롣 �����������Τ褦�����������롣

1. ɽ�ϰ��̤ˤ�̵�¸Ĥθ�����ʤꡢ�񤯤Τ����ѤǤ��롣 (������񤭤���Τ��Բ�ǽ�Ǥ��롣)
2. $X$ �θ� $x_1,x_2$ ��Ʊ�����饹���ɤ�������Τˡ��������� ���饹ʬ����ɽ�򸫤Ƥ���ͤ���Τ����ݤǤ��롣

�����ǡ����饹ʬ���������̤���ˡ���������褦�� �� $x, x' \in X$ ��Ʊ�����饹�Ǥ��� ��Ʊ�����饹�Ǥʤ����Τߤ�Ƚ�ꤹ��ޥ���פ�Ϳ�����Ƥ���Ȥ����� ����������ɤ���

��� 12.3   $X$ ��2�Ĥθ� $x,y$ �ˤ������ơ�$x \sim y$ ���������Ǥʤ�( $x\not\sim y$ ) �� �����������ޤäƤ��ơ�������������ĤȤ���$\sim$ �Τ��Ȥ� $X$ ���Ʊ�ʹط��Ȥ�����

1. $\forall x \in X \forall y \in X \forall z \in X$ (��$x \sim y$ and $y \sim z$ ��$\implies$ $x \sim z$ ).
2. $\forall x \in X$ ($x \sim x$ ).
3. $\forall x \in X \forall y \in X$ ($x \sim y$ $\implies$ $y \sim x$ ).

��Ʊ�ʹط��פȡ������Ǹ����Ȥ����Ρ�Ʊ�͡פȤ� (���ο��̤��餤�ˤϤ����뤬)����ʪ�Ǥ��롣�褯���̤��뤳�ȡ�

���� 12.3   $X$ �Υ��饹ʬ�� $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $x \sim x'$ �Ǥ��뤳�Ȥ�

$$\exists \lambda ( x\in C_\lambda$$    and $$x' \in C_\lambda)$$

���ݤ���Ƚ�ꤹ��С����� $\sim$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 12.4   $X$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $x \in X$ ���Ф��ơ�

$$C_x= \{ x' \in X ; x'\sim x\}$$

�Ȥ����Ȥ������Τ��Ȥ򼨤��ʤ�����

1. $x \in C_x$ . �Ȥ��ˡ� $$\bigcup_{x \in X } C_x =X$$ .
2. $x' \in C_x$ $\implies$ $x \in C_{x'}$ .
3. $C_x \cap C_{x'} \neq \emptyset {\Leftrightarrow} x \sim x' {\Leftrightarrow}\ C_x = C_{x'}$ .

��ۤɤ�Ʊ�ͤˡ�$C_x$ �Τʤ������ʣ�����Τ�ʤ����Ȥˤ�ꡢ $X$ �Υ��饹ʬ�������뤳�Ȥ��Ǥ��롣 �ưפ�ʬ����褦�ˡ��嵭2��������ϸߤ��˵դˤʤäƤ��롣 ���ʤ�������饹ʬ����Ϳ���뤳�ȤȤ�Ʊ�ʹط���Ϳ���뤳�Ȥ� �ܼ�Ū��Ʊ�����Ǥ��롣

���� 12.5   ���� $f: X\to Y$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $x \sim_f x'$ ���ݤ���Ƚ��� $f(x) = f(x')$ ���ݤ��Ǥ���Ȥ��� ���ʤ����

$$x \sim_f x' {\Leftrightarrow} f(x) = f(x')$$

������Ȥ���$\sim_f$ �� $X$ ��Ʊ�ʹط��Ǥ��뤳�Ȥ� ����˽��äƼ����ʤ�����

�֥ۥƥ�ҥ�٥�ȡ�Ū��ɽ���򤷤Ƥߤ褦�� ���� $f$ �ˤ�ꡢ$X$ �Τ��줾��� �ҥȤϥۥƥ� $Y$ �Τ������������롣 $x_1\sim_f x_2$ �Ȥϡ� $x_1$ ����� $x_2$ ����Ʊ����������ޤ뤳�Ȥ��̣���롣 ���������ˤ�ä� $X$ �Υ��饹ʬ�����Ԥ���Ȥ����櫓�Ǥ��롣

���� 12.6   $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $f(n)=n^2$ ���������Ȥ���

1. $1 \sim_f n$ �Ȥʤ�褦�� $n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �򤹤٤Ƶ��ʤ�����
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\sim_f$ �˴ؤ��륯�饹ʬ����ɽ��񤭤ʤ�����

���� 12.7   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $(1,0) \sim_f (1,5)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ �Ȥʤ�褦�� $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 12.8   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x^2+y^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ф��ơ�

1. $(1,0) \sim_f (0,-1)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ �Ȥʤ�褦�� $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½