微分積分学基礎 No.3要約

今日のテーマ:(実数区間上の)連続関数

定義 3.1   実数 $a$ を含む区間上で定義された関数 $f$ にたいして、 実数 $A$ が、

$$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0$$$$\text { such that } \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-A\vert < \epsilon$$

を満たすとき、 $A$ は $f$ の $x\to a$ での極限であるといい、 $\lim_{x\to a} f(x)=A$ と表記する。

定理 3.2   極限は存在するとすれば一つである。 極限は和、差、積、(分母が0 でない)商をたもつ。

定義 3.3   実数 $a$ を含む区間 $I$ 上で定義された関数 $f$ が、

$$\lim_ {x\to a} f(x)=f(a)$$

を満たすとき、$f$ は $a$ で連続であるという。 $f$ が $I$ の全ての点で連続であるとき、$f$ は $I$ で連続であるという。

命題 3.4   区間 $I$ を固定すると、 $I$ 上の 連続関数 $f,g$ の和、差、積は連続である。I $f,g$ が連続で、$I$ 上の各点 $x$ で $g(x)\neq 0$ なら、 $f/g$ も $I$ 上で連続である。

命題 3.5   次の関数は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上で連続である。

1. 定数関数 $f(x)=c$ .
2. $f(x)=x$ .
3. $\sin(x)$ , $\cos(x)$
4. $e^x$

命題 3.6   区間 $I$ 上で関数 $f$ が定義され、 $I$ の各点 $x$ について $f(x)$ が区間 $J$ に属するとする。 このとき、$I$ 上の関数($f,g$ の合成関数) $g\circ f$ が

$$(g\circ f)(x)= g(f(x))$$

で定義される。さらに、$f,g$ が連続なら $g\circ f$ も連続である。

定理 3.7   塀区間 $I=[a,b]$ 上の連続関数 $f$ が狭義単調増加であるとする。 すなわち、

$$\forall x \forall y \in I \quad x< y \implies f(x)< f(y)$$

と仮定する。このとき、$f$ の逆関数 $f^{-1}$ が定義されて、 連続である。 $f^{-1}$ は $J=[f(a),f(b)]$ 上定義される関数であって、 任意の $x \in I$ に対し、 $f^{-1}(f(x))= x$ を満たし、 また 任意の $y \in J$ に対し、 $f(f^{-1}(y))=y$ を満たす。

定義 3.8  

1. $e^x:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ の逆関数を $\log(x)$ と表記し、$x$ の自然対数と呼ぶ。
2. $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ni x \mapsto \sin(x)\in [-1,1]$ の逆関数を $\operatorname{Sin}^{-1}(x)$ とか $\arcsin(x)$ とかく。
3. $[0, \pi] \ni x \mapsto \cos(x)\in [-1,1]$ の逆関数を $\operatorname{Cos}^{-1}(x)$ とか $\arcsin(x)$ とかく。
4. $[0, \pi] \ni x \mapsto \cos(x)\in [-1,1]$ の逆関数を $\operatorname{Cos}^{-1}(x)$ とか $\arccos(x)$ とかく。
5. $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ni x \mapsto \tan(x)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の逆関数を $\operatorname{Tan}^{-1}(x)$ とか $\arctan(x)$ とかく。