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代数学 IA No.6要約

今日のテーマ: 剰余集合

定理 6.1   $G$ を群、 $H$ をその部分群とする。 このとき、

1. $G$ にクラス分け $\sim_H$ が
   $$g_1 \sim_H g_2 \quad {\Leftrightarrow}\quad \exists h \in H$$    such that $$h g_2 =g_1$$
   により定まる。 ( $g_1\sim_H g_2$ のことを「$g_1$ と $g_2$ とは $H$ を法として 右合同である」と表現する。)
2. 各 $g\in G$ の $\sim_H$ によるクラスは $H g$ と等しい。
3. 各 $g\in G$ に対して、
   $$H \ni h \mapsto h g \in H g$$
   は $H$ と $H g$ との間の全単射を与える。

定義 6.2   $G$ を群、 $H$ をその部分群とする。 このとき、定理 6.1 で定まるクラス分け $\sim_H$ によるクラスの全体の集合を $H\backslash G$ と書き、$G$ の $H$ による右剰余集合という。

◎ 上と同じようなことが、

$$g_1 \equiv_H g_2 {\Leftrightarrow}\exists h \in H$$    such that $$g_1 h = g_2$$

という別のクラス分けでも考えられる。 $\equiv_H$ のことを $H$ による左合同関係といい、$G$ を $\equiv_H$ でクラス分けした クラスの全体を $G/H$ と書く。 $G/H$ は $G$ の$H$ による 左剰余集合 と呼ばれる。