微分積分学基礎 No.1要約

今日のテーマ:実数

関数の概念：

定義 1.1   集合 $X$ 上の実数値関数$f$ とは、 $X$ の各元 $x$ に対して、その値 $f(x)$ が (誰がやっても正しくやる限りはただひとつ)定まっている時に いう。

「ある時刻での気圧」は平面の領域上の関数とみなせる。

→多変数関数や関数列を扱う必要が生じる。

ただし、まずは 数列や、一変数関数を扱うのが基本になる。

定義 1.2   以下この講義では次のような記号を用いる。

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ : 整数全体のなす集合。

2. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ : 有理数全体のなす集合。

3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ : 実数全体のなす集合。

4. ${\mathbb{C}}$ : 複素数全体のなす集合。

◎集合と、その元との区別が大事。 「実数の集合を一つ考える。」というのと、「実数を一つ考える。」というのを よく意識して区別すること。

定理 1.3   次の不等式が成り立つ。

1. $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、 $-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$.
2. (三角不等式) $x,y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、 $\vert x+y\vert \leq \vert x\vert+\vert y\vert.$

定義 1.4   実数 $a,b$ について、閉区間 $[a,b]$ と開区間 $(a,b)$ を つぎの式で定める。

$$[a,b] =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a\leq x \leq b\}$$

$$(a,b) =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a < x < b\}$$

以下、この講義では、 整数、有理数、実数の、和、差、積、商、等号、不等号。を 自由に用いる。 その他、実数の完備性というのも用いるのであるが、それについては次回以降。

数列

定義 1.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ 上の関数を数列という。数列のことを $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$ と書いたり、 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ と書いたりする。

単に数列と言ったときには、有限数列は考えない。 他方で、「(添字が)0 から始まる数列」なども場合によっては考えることがあるが、 それについては臨機応変に。

◎有界

定義 1.6  

1. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $S$ が有界であるとは、 ある実数 $M_1,M_2$ があって、どのような $x\in S$ に対しても $M_1\leq x \leq M_2$ を満たすときに言う。
2. 実数列 $\{a_n\}$ が有界であるとは、 それを $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合と見て有界であるときに言う。
3. 集合 $X$ 上の関数 $f$ が有界であるとは、値集合 $\{f(x)\}_{x\in X}$ が有界であるときにいう。

(2) は (3)の特別の場合とも見ることができる。(3)については次回以降に解説する。

◎極限

定義 1.7   数列 $\{a_n\}$ は、ある実数 $a$ にたいして、

$$\forall \epsilon>0 \exists N$$    such that $$(n>N\implies \vert a_n -a\vert<\epsilon$$

をみたすとき、$a$ に収束する という。 $\{a_n\}$ が $a$ に収束するとき、 その収束する先 $a$ は一つに定まる。そこで この値のことを $\{a_n\}$ の $n\to \infty$ のときの極限とよび、

$$\lim_{n\to \infty } a_n$$

と表す。

命題 1.8   $\{a_n\}$と $\{b_n\}$ とが収束すると仮定する。このとき、

1. $$\lim_{n\to \infty } (a_n+b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n +\lim_{n\to \infty } b_n$$

2. $$\lim_{n\to \infty } (a_n-b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n -\lim_{n\to \infty } b_n$$

3. $$\lim_{n\to \infty } (a_n b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n \lim_{n\to \infty } b_n$$

4. さらに $\lim_n b_n \neq 0$ を仮定すると、 有限個の例外を除いて $b_n\neq 0$ で、
   $$\lim_{n\to \infty } (a_n/ b_n)= \lim_{n\to \infty } a_n /\lim_{n\to \infty } b_n$$