微分積分学基礎 No.2要約

今日のテーマ:(実数区間上の)連続関数

定義 2.1   実数 $a$ を含む区間上で定義された関数 $f$ にたいして、 実数 $A$ が、

$$\forall \epsilon >0 \exists \delta >0$$$$\text { such that } \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-A\vert < \epsilon$$

を満たすとき、 $A$ は $f$ の $x\to a$ での極限であるといい、 $\lim_{x\to a} f(x)=A$ と表記する。

定理 2.2   極限は存在するとすれば一つである。 極限は和、差、積、(分母が0でない)商をたもつ。

定義 2.3   実数 $a$ を含む区間 $I$ 上で定義された関数 $f$ が、

$$\lim_ {x\to a} f(x)=f(a)$$

を満たすとき、$f$ は $a$ で連続であるという。 $f$ が $I$ の全ての点で連続であるとき、$f$ は $I$ で連続であるという。

命題 2.4   区間 $I$ を固定すると、 $I$ 上の 連続関数 $f,g$ の和、差、積は連続である。I $f,g$ が連続で、$I$ 上の各点 $x$ で $g(x)\neq 0$ なら、 $f/g$ も $I$ 上で連続である。

命題 2.5   次の関数は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上で連続である。

1. 定数関数 $f(x)=c$.
2. $f(x)=x$.
3. $\sin(x)$, $\cos(x)$
4. $e^x$