微分積分学基礎 No.10要約

今日のテーマ:積分

積分にはいくつかのものがある。

1. $f$ の原始関数、すなわち微分して $f$ に一致する関数を見つける。
2. グラフの面積に当たる量、定積分 $\int_a^b f(x) d x$ をもとめる。
3. 定積分の積分区間を動かして $\int_a^x f(t) d t$をもとめる。(不定積分)

定理 10.1   $(a,b)$ 上の関数 $f$ に対して、その原始関数 $F,G$ が与えられたとする。 このとき $F$ と $G$ の差は定数である。 言い換えると、 $f$ の原始関数は $F+C$ ($C$ は定数) の形である。 ($C$ のことを積分定数と呼ぶ。)

定義 10.2   一変数関数 $f$ に対して、 $f$ の原始関数のことを

$$\int f (x) d x +C$$

(もしくは $\int f dx +C$) とかく。

... のだが、教科書に従って、積分定数は省略して $\int f(x) d x$ と書くことが多い。

微分の表を逆に読めば、積分の表が得られる。

$f(x)$	$f'(x)$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\log(x)$	$\frac{1}{x}$
$\operatorname{Sin}^{-1}(x)$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\operatorname{Tan}^{-1}(x)$	$\frac{1}{1+x^2}$

        

$f(x)$	$\int f(x) d x$
$x^n$ $\ (n\neq -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\log(x)$
$e^x$	$e^x$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$
$\cos(x)$	$\sin(x)$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\operatorname{Sin}^{-1}(x)$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\operatorname{Tan}^{-1}(x)$

定義 10.3 (リーマン積分)   $[a,b]$ 上で定義された関数 $f$ に対して、 $[a,b]$ の分割 $a=x_0<x_1<x_2<\dots <x_{n-1}<x_n=b$と、 分割された各区間での点 $a_k \in [x_{k-1},x_{k}] (k=1,2,\dots,n$) を とる。そのとき、 $f$ のリーマン和を

$$\sum_{k=1}^n f(a_k) (x_k-x_{k-1})$$

で定める。 分割を小さくすると、リーマン和が常に一定の値に近づくとき、 その値のことを $\int_a^b f(x) d x$ と書き、$f$ の $[a,b]$ における 定積分と呼ぶ。

定理 10.4   $f$ が $[a,b]$ で定義される連続関数ならば、$f$ の定積分は必ず存在する。

証明のアイディア: $f$ が $[a,b]$ で一様連続であることを $[a,b]$ のコンパクト性を利用して示し、利用する。

定積分はリーマン積分よりもさらに柔軟な定義があり(ルベーグ積分)、 $[a,b]$ 上の考える限りの有界関数は、ルベーグ積分可能と見てよいぐらいである。

定理 10.5   $[a,b]$ 上の連続関数 $f$ に対して、 $F(x)=\int_a^x f(t) dt$ は $f$ の原始関数を与える。