線形代数学II No.2要約

今日のテーマ: 計量ベクトル空間

定義 2.1   実ベクトル空間 $V$ が与えられているとする。 $V\times V$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への正定値対称双線形写像を $V$ の内積と呼ぶ。 具体的には次の条件を満たすものが内積である。

1. $\mathbbm a\cdot \mathbbm b = \mathbbm b\cdot\mathbbm a$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b\in V)$
2. $\mathbbm a \cdot (\mathbbm b+\mathbbm c)=\mathbbm a \cdot \mathbbm b + \mathbbm a \cdot \mathbbm c$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b,\mathbbm c \in V)$
3. $(\mathbbm a+\mathbbm b) \cdot \mathbbm c = \mathbbm a \cdot\mathbbm c +\mathbbm b \cdot\mathbbm c$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b,\mathbbm c \in V)$
4. $(c\mathbbm a) \cdot \mathbbm b =\mathbbm a \cdot (c\mathbbm b) = c(\mathbbm a \cdot \mathbbm b)$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b \in V,\forall c \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$
5. $\mathbbm a \cdot \mathbbm a \geq 0$.          $\mathbbm a\cdot\mathbbm a =0 {\Leftrightarrow}\mathbbm a=\bf0$.          $(\forall \mathbbm a \in V)$

内積を持つベクトル空間を 計量ベクトル空間 と呼ぶ。

定義 2.2   数ベクトル空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ には

$$(a_i)\cdot (b_i)=\sum_i a_i b_i$$

によって内積が入る。これを $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の 標準的な内積と呼ぶ。

定義 2.3   計量ベクトル空間 $V$ に対して $V$ の元 $\mathbbm v$ の長さ を

$$\vert\vert\mathbbm v\vert\vert= \sqrt{\mathbbm v \cdot \mathbbm v}$$

で定める。

命題 2.4 (長さと内積の関係)   計量ベクトル空間 $V$ の元 $\mathbbm a, \mathbbm b$ に対して、つぎの 等式が成り立つ。

1. $\mathbbm a \cdot \mathbbm b =\frac{1}{4}(\vert\vert\mathbbm a + \mathbbm b\vert\vert^2 -\vert\vert\mathbbm a - \mathbbm b\vert\vert^2)$
2. $\vert\vert\mathbbm a + \mathbbm b\vert\vert^2 +\vert\vert\mathbbm a - \mathbbm... ...t^2 =2(\vert\vert \mathbbm a \vert\vert^2 + \vert\vert\mathbbm b \vert\vert^2)$

定理 2.5   計量ベクトル空間 $V$ の元 $\mathbbm a, \mathbbm b$ に対して、つぎの 等式が成り立つ。

1. (シュヴァルツの不等式) $\vert\vert\mathbbm a \cdot \mathbbm b\vert\vert\leq \vert\vert\mathbbm a \vert\vert \ \vert\vert \mathbbm b\vert\vert$

2. (三角不等式) $\vert\vert \mathbbm a + \mathbbm b\vert\vert \leq \vert\vert \mathbbm a\vert\vert + \vert\vert \mathbbm b\vert\vert$

ベクトルのなす角

命題 2.6   計量ベクトル空間 $V$ の $\bf0$ でない 元 $\mathbbm a, \mathbbm b$ に対して、つぎの 等式を満たす $\theta$ が $[0,\pi]$ に一意に存在する。

$$\cos(\theta)=\frac{\mathbbm a \cdot \mathbbm b}{\vert\vert\mathbbm a\vert\vert \vert\vert \mathbbm b\vert\vert}$$

この $\theta$ を $\mathbbm a$ と $\mathbbm b$ のなす角と呼ぶ。

計量ベクトル空間 $V$ の元 $\mathbbm a, \mathbbm b$ に対して、 $\mathbbm a \cdot \mathbbm b=\bf0$ のとき $2$ つのベクトルは直交するという。これは２つのベクトルのなす角が $\pi/2$ であるということとほぼ同じだが、$2$ つのベクトルのうち一方が $\bf0$ のときにもこの表現を使うところに少し注意を要するかもしれない。