線形代数学II No.14要約

今日のテーマ: 対称行列の標準形

定義 14.1  

1. 実行列 $A \in M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ が対称行列であるとは、 ${}^t A=A$ のときにいう。
2. 複素行列 $A$ がエルミート対称行列であるとは、 ${}^t \bar A=A$ のときにいう。ここで、$\bar A$ は $A$ のそれぞれの成分の複素共役をとった行列を指す。

命題 14.2   エルミート対称行列の固有値は必ず実数である。 とくに実対称行列の固有値は必ず実数である。

定義 14.3   $n$次正方行列 $P$ が直交行列 ${\Leftrightarrow}$ ${}^t P P = E_n$.

$n$次正方行列 $P$ がユニタリ行列 ${\Leftrightarrow}$ ${}^t \bar P P = E_n$.

定理 14.4   実対称行列は直交行列で対角化できる。 エルミート対称行列はユニタリ行列で対角化できる。

この定理のうち、エルミート行列の対角化には、複素ベクトル空間の 計量の話が必要であるが、議論は同様なので結果だけ上に掲げておいた。

参考:

定義 14.5   複素ベクトル空間 $V$ が与えられているとする。 $V\times V$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への正定値半対称双線形写像を $V$ の エルミート内積と呼ぶ。 具体的には次の条件を満たすものがエルミート内積である。

1. $\mathbbm a\cdot \mathbbm b = \overline{\mathbbm b\cdot\mathbbm a}$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b\in V)$
2. $\mathbbm a \cdot (\mathbbm b+\mathbbm c)=\mathbbm a \cdot \mathbbm b + \mathbbm a \cdot \mathbbm c$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b,\mathbbm c \in V)$
3. $(\mathbbm a+\mathbbm b) \cdot \mathbbm c = \mathbbm a \cdot\mathbbm c +\mathbbm b \cdot\mathbbm c$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b,\mathbbm c \in V)$
4. $(c\mathbbm a) \cdot \mathbbm b =\mathbbm a \cdot (\bar{c}\mathbbm b) = c(\mathbbm a \cdot \mathbbm b)$          $(\forall \mathbbm a ,\mathbbm b \in V,\forall c \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$
5. $\mathbbm a \cdot \mathbbm a \geq 0$.          $\mathbbm a\cdot\mathbbm a =0 {\Leftrightarrow}\mathbbm a=\bf0$.          $(\forall \mathbbm a \in V)$

エルミート内積を持つ複素ベクトル空間を 複素計量ベクトル空間 と呼ぶ。

複素計量ベクトル空間でも、シュミットの直交化法に代表されるような技法・定理が 同様にある。