有限次元、基底の与えられたベクトル空間のテンソル積

以下、$K$ を体とする。不慣れな $K=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ または $K={\mathbb{C}}$ と考えてもよい。

定義 1.1   $V$ ,$W$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間、 $\{\mathbbm e_1,\dots, \mathbbm e_n\}$, $\{\mathbbm f_1,\dots, \mathbbm f_m\}$ を それぞれ $V$,$W$ の基底とする。$n=\dim V$, $m=\dim W$ である。 このとき、形式的な元

$$\{\boxed{\mathbbm e_i \otimes \mathbbm f_j}; i=1,2,\dots,n, j=1,2,\dots,m \}$$

を基底とする $nm$ 次元の $K$-ベクトル空間を $V\otimes W$ で書き表し、 $V$ と $W$ のテンソル積と呼ぶ。 言い換えれば、 $V\otimes W$ とは形式的な和

$$\sum_{\substack{i,j}} a_{ij} \boxed{\mathbbm e_i \otimes \mathbbm f_j} \qquad (a_{ij}\in K)$$

の集まりである。

例えば $n=2,m=3$ であれば

$$\boxed{\mathbbm e_1 \otimes \mathbbm f_1}, \ \boxed{\mathbbm e_1 \otimes \mathbbm f_2}, \ \boxed{\mathbbm e_1 \otimes \mathbbm f_3},$$

$$\boxed{\mathbbm e_2 \otimes \mathbbm f_1}, \ \boxed{\mathbbm e_2 \otimes \mathbbm f_2}, \ \boxed{\mathbbm e_2 \otimes \mathbbm f_3}$$

の $6$ つの元を基底とするベクトル空間が $V\times W$ である。

四角で囲うのはいかにも大仰である。しかも $\boxed{\mathbbm e_i\otimes \mathbbm f_j}$ という 記号は要するに $i,j$ にしか関係しないので $\boxed{i,j}$ とでも書いておけばそのほうがラクなぐらいだ。 下を参照のこと。

定義 1.2   $V$ ,$W$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間、 $\{\mathbbm e_1,\dots, \mathbbm e_n\}$, $\{\mathbbm f_1,\dots, \mathbbm f_m\}$ を それぞれ $V$,$W$ の基底とする。 $\v\in V$ と $\mathbbm w\in W$のテンソル積 $\v\otimes \mathbbm w$ が、次のように定義される

$$(\sum_i v_i \mathbbm e_i )\otimes (\sum_j w_j \mathbbm f_j) \ove... ...torname{def}}{=} \sum_{i,j} v_i w_j \boxed{\mathbbm e_i \otimes \mathbbm f_j}$$

この定義に従えば、とくに

$$\mathbbm e_i \otimes f_j = \boxed{\mathbbm e_i \otimes \mathbbm f_j}$$

であるから、四角で囲う必要がなくなる。

命題 1.3   $(\v ,\mathbbm w)\in V\times W \to V\otimes W$ は双線形である。すなわち、

1. $(\v _1+\v _2)\otimes \mathbbm w = \v _1\otimes \mathbbm w +\v _2\otimes \mathbbm w$ $(\forall \v _1,\forall \v _2 \in V, \forall \mathbbm w\in W)$.
2. $(c \v ) \otimes \mathbbm w=c (\v\otimes \mathbbm w)$ $(\forall c \in K, \forall \v\in V, \forall \mathbbm w\in W)$.
3. $\v\otimes(\mathbbm w_1+\mathbbm w_2) =\v\otimes \mathbbm w_1 + \v\otimes \mathbbm w_2$ $(\forall \v\in V,\forall \mathbbm w_1, \forall \mathbbm w_2\in W)$.
4. $\v\otimes c\mathbbm w =c(\v\otimes \mathbbm w)$ $(\forall c \in K, \forall \v\in V, \forall \mathbbm w\in W)$.

これで、有限次元のベクトル空間のテンソル積については (基底さえとれば)おしまいである。