Q2.どのような基底の取り方をすれば、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\oplus W$ と表せ、指数法則も成立 するのでしょうか？

A2. $b_{\lambda_0}=1$ を含むような基底をとってください。 ²

A1 と同様の手法により、 このような基底が存在することが分かります。

$$W=\sum_{\lambda\neq \lambda_0}$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$b_\lambda$$

とおくと、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$=$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$b_{\lambda_0} + W=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$+W$ が成り立ちます。

さて、任意の実数 $r$ にたいして、

$$r=q(r)+w(r) \qquad q(r)\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$, w(r)\in W$$

と一意的に書けます。$q,w$ は $r$ に関して $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$-線型です。

そこで、疑似指数関数 $f(r)$ をたとえば

$$f(r)=2^{q(r)}$$

などで定義すれば、 $f(r_1+r_2)=f(r_1)f(r_2)$ が成り立つことが確かめられます。